加速する物体の見かけの加速度（２） - 柵（しがらみ）なき重力論

前回の記事で、等加速度 $\alpha$ で動く物体の見かけの速度 $v_i$ を求めました。

観測者に近づいてくる物体の見かけの速度は、

　 $\displaystyle v_i=(\alpha×t)×(\sqrt{1+(\alpha×t)^2}+(\alpha×t))$ 　（式１）

離れていく物体の見かけの速度は、

　 $\displaystyle v_i=(\alpha×t)×(\sqrt{1+(\alpha×t)^2}-(\alpha×t))$ 　（式２）

でした。

今回は、これらから、見かけの加速度を求めてみます。

式１、式２を $t$ で微分すればよいです。

いろいろな方法がありますが、今回は、 $a×t=z$ 、 $z=\sinh\theta$ と置いてみます。（そのほうが計算が面白い？）

観測者に近づいてくる物体の見かけの速度は、式１から、

　 $\displaystyle v_i=(\alpha×t)×(\sqrt{1+(\alpha×t)^2}+(\alpha×t))$

　 $\displaystyle =z×(\sqrt{1+z^2}+z)$

　 $\displaystyle =\sinh\theta×(\sqrt{1+\sinh^2\theta}+\sinh\theta)$

　 $\displaystyle =\sinh\theta×(\cosh\theta+\sinh\theta)$

　 $\displaystyle =\sinh\theta×\cosh\theta+\sinh^2\theta$

となります。

一方、 $\displaystyle \frac{dv_i}{dt}$ は、

　 $\displaystyle \frac{dv_i}{dt}=\frac{dz}{dt}\frac{d\theta}{dz}\frac{dv_i}{d\theta}$

です。

$\theta=\sinh^{-1}z$ ですので、

　 $\displaystyle\frac{dz}{dt}\frac{d\theta}{dz}=\frac{d}{dt}(\alpha×t)\frac{d}{dz}\sinh^{-1}z$

　 $\displaystyle=\alpha×\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}$

　 $\displaystyle=\frac{\alpha}{\sqrt{1+(\alpha×t)^2}}$

です。

また、

　 $\displaystyle \frac{dv_i}{d\theta}=\frac{d}{d\theta}(\sinh\theta×\cosh\theta+\sinh^2\theta)$

　 $\displaystyle =\frac{d}{d\theta}(\sinh\theta×\cosh\theta)+\frac{d}{d\theta}\sinh^2\theta$

　 $\displaystyle =(\sinh^2\theta+\cosh^2\theta)+(2×\sinh\theta×\cosh\theta)$

　 $\displaystyle =(\sinh\theta+\cosh\theta)^2$

　 $\displaystyle =\left(\frac{e^\theta-e^{-\theta}}{2}+\frac{e^\theta+e^{-\theta}}{2}\right)^2$

　 $\displaystyle =\left(\frac{2×e^\theta}{2}\right)^2$

　 $\displaystyle =(e^\theta)^2$

　 $\displaystyle =\left(e^{\sinh^{-1}(\alpha×t)}\right)^2$

　 $\displaystyle =\left(e^{\log\left(\alpha×t+\sqrt{1+(\alpha×t)^2}\right)}\right)^2$

　 $\displaystyle =\left(\alpha×t+\sqrt{1+(\alpha×t)^2}\right)^2$

です。

合わせると、観測者に近づいてくる物体の見かけの加速度は、

　 $\displaystyle \frac{dv_i}{dt}=\frac{\alpha}{\sqrt{1+(\alpha×t)^2}}×\left(\alpha×t+\sqrt{1+(\alpha×t)^2}\right)^2$

　 $\displaystyle =\frac{\alpha×\left(\alpha×t+\sqrt{1+(\alpha×t)^2}\right)^2}{\sqrt{1+(\alpha×t)^2}}$

となります。

観測者から離れていく物体の見かけの加速度も同様に計算できますが、異なるのは、観測者から離れていく物体の見かけの速度が、式２から、

　 $\displaystyle v_i=(\alpha×t)×(\sqrt{1+(\alpha×t)^2}-(\alpha×t))$

　 $\displaystyle =\sinh\theta×\cosh\theta-\sinh^2\theta$

となることです。

途中の計算で、

　 $\displaystyle \frac{dv_i}{d\theta}=\frac{d}{d\theta}(\sinh\theta×\cosh\theta-\sinh^2\theta)$

　 $\displaystyle =(\sinh^2\theta+\cosh^2\theta)-(2×\sinh\theta×\cosh\theta)$

　 $\displaystyle =(\sinh\theta-\cosh\theta)^2$

　 $\displaystyle =\left(\frac{e^\theta-e^{-\theta}}{2}-\frac{e^\theta+e^{-\theta}}{2}\right)^2$

　 $\displaystyle =\left(\frac{-2×e^{-\theta}}{2}\right)^2$

　 $\displaystyle =(-e^{-\theta})^2$

　 $\displaystyle =(e^{-\theta})^2$ 　（ $-1^2=1$ なので）

　 $\displaystyle =(e^\theta)^{-2}$ 　（ $(e^{-\theta})^2=e^{-2\theta}=(e^\theta)^{-2}$ なので）

　 $\displaystyle =\left(\alpha×t+\sqrt{1+(\alpha×t)^2}\right)^{^-2}$

となります。

合わせると、観測者からはなれていく物体の見かけの加速度は、

　 $\displaystyle \frac{dv_i}{dt}=\frac{\alpha}{\sqrt{1+(\alpha×t)^2}}×\left(\alpha×t+\sqrt{1+(\alpha×t)^2}\right)^{-2}$

　 $\displaystyle =\frac{\alpha}{\sqrt{1+(\alpha×t)^2}×\left(\alpha×t+\sqrt{1+(\alpha×t)^2}\right)^2}$

　 $\displaystyle =\frac{\alpha}{\sqrt{1+(\alpha t)^2}×\left((\alpha t)^2+2\alpha t\sqrt{1+(\alpha t)^2}+(\sqrt{1+(\alpha t)^2})^2\right)}$

　 $\displaystyle =\frac{\alpha}{\sqrt{1+(\alpha t)^2}×\left((\alpha t)^2+2\alpha t\sqrt{1+(\alpha t)^2}+(1+(\alpha t)^2)\right)}$

　 $\displaystyle =\frac{\alpha}{\sqrt{1+(\alpha t)^2}×\left(2(\alpha t)^2+1+2\alpha t\sqrt{1+(\alpha t)^2})\right)}$

　 $\displaystyle =\frac{\alpha}{\sqrt{1+(\alpha t)^2}(2(\alpha t)^2+1)+2\alpha t(\sqrt{1+(\alpha t)^2})^2)}$

　 $\displaystyle =\frac{\alpha}{(2(\alpha t)^2+1)\sqrt{1+(\alpha t)^2}+2\alpha t(1+(\alpha t)^2)}$

　 $\displaystyle =\frac{\alpha}{(2(\alpha t)^2+1)\sqrt{1+(\alpha t)^2}+2\alpha t+2(\alpha t)^3}$

となります。

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