加速する物体の見かけの加速度（１） - 柵（しがらみ）なき重力論

等加速度 $\alpha$ で動く物体を慣性系から見たとき、その速度 $v(t)$ は、

　 $\displaystyle v(t)=\frac{\alpha×t}{\sqrt{1+(\alpha×t)^2}}$ 　（式１）

です。（ $\alpha$ は物体自体の加速度、 $t$ は慣性系での時刻）
求め方は「深宇宙探査機を見送る（２）」を参照ください。

$t\to\infty$ で $v\to 1$ ですので、時間の経過とともに速度は光速度に近づきます。

式１を $t$ で微分すると、物体を慣性系から見たときの加速度 $a(t)$ となります。

　 $\displaystyle a(t)=\alpha×\frac{1}{\left(\sqrt{1+(\alpha×t)^2}\right)^3}$ 　（式２）

求め方は「加速度系を見るとき、加速度系から見るとき（１）」を参照ください。
$t\to\infty$ で $a\to 0$ ですので、時間の経過とともに加速度はゼロに近づきます。

一方、観測者に近づいてくる物体の、観測者から見た速度 $v_i$ は、
　 $\displaystyle v_i=\frac{v}{1-v}$ 　（式３）
観測者から離れていく物体の速度は、
　 $\displaystyle v_i=\frac{v}{1+v}$ 　（式４）
でした。（「向かってくる物体は超光速にも見える」を参照ください）

近づいてくる光速度は無限大に見え（光が出発したことを観測者が知ったとき、もうその光は届いている）、離れていく光速度は $\displaystyle 1/2$ に見えます。

式１と式３を合わせて、観測者に近づいてくる加速する物体の、観測者から見た速度 $v_i(t)$ を計算します。（掛け算の記号は省略します）
まず $1-v$ は、

　 $\displaystyle 1-v=1-\frac{\alpha t}{\sqrt{1+(\alpha t)^2}}$

　 $\displaystyle =\frac{\sqrt{1+(\alpha t)^2}-\alpha t}{\sqrt{1+(\alpha t)^2}}$

です。

$\displaystyle v_i(t)=\frac{v}{1-v}$ は、

　 $\displaystyle v_i(t)=v\frac{1}{1-v}$

　 $\displaystyle =\frac{\alpha t}{\sqrt{1+(\alpha t)^2}}\frac{\sqrt{1+(\alpha t)^2}}{\sqrt{1+(\alpha t)^2}-\alpha t}$

　 $\displaystyle =\frac{\alpha t}{1}\frac{1}{\sqrt{1+(\alpha t)^2}-\alpha t}$

　 $\displaystyle =\frac{\alpha t}{\sqrt{1+(\alpha t)^2}-\alpha t}$

分子・分母に $\displaystyle \sqrt{1+(\alpha t)^2}+\alpha t$ を掛けて、

　 $\displaystyle v_i(t)=\frac{(\alpha t)(\sqrt{1+(\alpha t)^2}+\alpha t)}{(\sqrt{1+(\alpha t)^2}-\alpha t)(\sqrt{1+(\alpha t)^2}+\alpha t)}$

　 $\displaystyle =\frac{(\alpha t)(\sqrt{1+(\alpha t)^2}+\alpha t)}{(1+(\alpha t)^2)-(\alpha t)^2}$

　 $\displaystyle =\frac{(\alpha t)(\sqrt{1+(\alpha t)^2}+\alpha t)}{1}$

　 $\displaystyle =\alpha t(\sqrt{1+(\alpha t)^2}+\alpha t)$

となります。

近づいてくる加速する物体の速度は、 $t\to\infty$ で $v_i\to \infty$ となります。

観測者から離れていく加速する物体の、観測者から見た速度 $v_i(t)$ は、式１と式４を合わせて、同じように計算して、
　 $\displaystyle v_i(t)=\alpha t(\sqrt{1+(\alpha×t)^2}-\alpha t)$
となります。
$t\to\infty$ で $v_i\to ?$ 。（どうなるでしょうか）