柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

逆：離れていく物体の時間をグラフで考える（１）

時空間 時間の遅れ ミンコフスキー空間 世界間隔

以前、観測者から離れていく物体の時間がどう見えるか、グラフで考えてみました。

今回は、その逆パターンとして、観測者のほうが動く場合を考えます。

なお、等速度の場合は、観測者が止まっていて物体が動いていると考えても、同じ結果なるはずですが、まあ、確かめてみましょう。

物体が静止している慣性系から見た観測者の軌道を x=v×t とします。（時刻 t=0 で位置 x=0 に観測者がいます）

x は観測者の位置、v は観測者の速度、t は物体の慣性系での時刻です。

 物体から時刻 t=t_1 と t=t_1+dt に光が２回放たれ、観測者に着いたとします。

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２回の光の軌道は、それぞれ、x=t-t_1、x=t-(t_1+dt) です。

観測者が光を受けた時刻をそれぞれ t=t_1' と t_1'+dt’ とすると、それらは光の軌道と物体の軌道との交点から求まります。

x=v×t と x=t-t_1 との交点から、

　v×t_1’= t_1’-t_1
　v×t_1’-t_1'= -t_1
　t_1'-v×t_1’= t_1
　t_1’×(1-v)= t_1

　\displaystyle t_1’=\frac{t_1}{1-v}　（式１）

です。
x=v×t と x=t-(dt+t_1) との交点から、同じようにして、

　\displaystyle t_1’+dt’=\frac{t_1+dt}{1-v}　（式２）

です。

物体が光を放った時間間隔 dt と観測者が光を受け取った時間間隔 dt' との違いが、時間の進みの違いになります。

式２から式１を辺々差し引くと

　\displaystyle (t_1’+dt’)-(t_1’)=\frac{t_1+dt}{1-v}-\frac{t_1}{1-v}

　\displaystyle dt’=\frac{dt}{1-v}　（式３）

となります。

ただし、式３の dt’ は物体の座標で測った時間です。
観測者の経過時間は観測者の座標で測ります。

観測者が光を受けた２点間の世界距離 ds は、物体の座標では、時間間隔が dt’、空間間隔が dx=v×dt’ ですので、ds=\sqrt{dt’^2-(v×dt’)^2} です。

一方、観測者の座標では、自身は止まっていますので、光を受けた２点間の世界距離は、その時間間隔を d\tau とすると、ds=d\tau です。

われわれの時空間はミンコフスキー空間であり、２点間の世界間隔はどの座標から見ても同じですから、

　d\tau=\sqrt{dt’^2-(v×dt’)^2}
　d\tau=\sqrt{dt’^2-v^2×dt'^2}
　d\tau=\sqrt{dt’^2×(1-v^2)}
　d\tau=dt’×\sqrt{1-v^2}　（式４）

です。

式４と式３を合わせて、

　\displaystyle d\tau=\frac{dt}{1-v}×\sqrt{1-v^2}

　\displaystyle =\frac{dt×\sqrt{1-v^2}}{1-v}

　\displaystyle \frac{d\tau}{dt}=\frac{\sqrt{1-v^2}}{1-v}

逆数をとって、観測者から見た物体での経過時間とします。

　\displaystyle \frac{dt}{d\tau}=\frac{1-v}{\sqrt{1-v^2}}

分子・分母に 1+v を掛けて、

　\displaystyle \frac{dt}{d\tau}=\frac{(1-v)×(1+v)}{\sqrt{1-v^2}×(1+v)}

　\displaystyle =\frac{1-v^2}{\sqrt{1-v^2}×(1+v)}

分子・分母を \sqrt{1-v^2} で割って、

　\displaystyle =\frac{\sqrt{1-v^2}}{1+v}

 です。

観測者から見た物体での経過時間は、\displaystyle \frac{\sqrt{1-v^2}}{1+v} 倍になることがわかりました。

観測者が止まっていて物体が動いていると考えた場合と同じ結果なりましたね。

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