加速運動する物体を慣性系から見る：Ｙ軸編（４）

昨日の記事で、x軸方向へ定加速度 $a$ で動いている物体を、y軸方向に速度 $v$ で動く慣性系Aから見たときの物体の速度 $u$ を求めました。

　 $\displaystyle u_x(t)= \frac{a×t×(1-v^2)}{\sqrt{1+(a×t)^2×(1-v^2)}}$ 　（式１）

　 $\displaystyle u_y(t) =v$ 　（式２）

今回は、これらを微分して、系Aから見た物体の加速度 $\alpha$ を求めてみます。

まず、系Aから見た物体のy軸方向の加速度 $\alpha_y(t)$ は簡単なので、先にやってしまいます。
　 $\displaystyle \alpha_y(t) = \frac{du_y}{dt}$

式２を $t$ で微分します。
　 $\displaystyle \alpha_y(t) = \frac{d}{dt}v=0$
です。（定速度なので加速度はゼロです）

次に、系Aから見た物体のx軸方向の加速度 $\alpha_x(t)$ です。（結構長いです）
　 $\displaystyle \alpha_x(t) = \frac{du_x}{dt}$

式1を $t$ で微分します。

　 $\displaystyle \alpha_x(t) = \frac{d}{dt}\frac{a×t×(1-v^2)}{\sqrt{1+(a×t)^2×(1-v^2)}}$ 　（式3）

式3で、 $\displaystyle a×t×\sqrt{1-v^2}=\beta=\sinh\theta$ と置きます。

　 $\displaystyle \alpha_x(t) = \frac{d\beta}{dt}×\frac{d}{d\beta}\frac{\sqrt{1-v^2}×\beta}{\sqrt{1+\beta^2}}$

　 $\displaystyle \alpha_x(t) = \frac{d\beta}{dt}×\frac{d\theta}{d\beta}×\frac{d}{d\theta}\frac{\sqrt{1-v^2}×\sinh\theta}{\sqrt{1+\sinh^2\theta}}$

定数項 $\sqrt{1-v^2}$ を前に出します。

　 $\displaystyle \alpha_x(t) = \sqrt{1-v^2}×\frac{d\beta}{dt}×\frac{d\theta}{d\beta}×\frac{d}{d\theta}\frac{\sinh\theta}{\sqrt{1+ \sinh^2\theta}}$

　 $\displaystyle \alpha_x(t) = \sqrt{1-v^2}×\frac{d\beta}{dt}×\frac{d\theta}{d\beta}×\frac{d}{d\theta}\frac{\sinh\theta}{\sqrt{\cosh^2\theta}}$

　 $\displaystyle \alpha_x(t) = \sqrt{1-v^2}×\frac{d\beta}{dt}×\frac{d\theta}{d\beta}×\frac{d}{d\theta}\frac{\sinh\theta}{\cosh\theta}$

　 $\displaystyle \alpha_x(t) = \sqrt{1-v^2}×\frac{d\beta}{dt}×\frac{d\theta}{d\beta}×\frac{d}{d\theta}\tanh\theta$ 　（式4）

となります。

双曲線関数の微分の公式から、

　 $\displaystyle \frac{d}{d\theta}\tanh\theta=\frac{1}{\cosh^2\theta}$

ですので、式4は

　 $\displaystyle \alpha_x(t) = \sqrt{1-v^2}×\frac{d\beta}{dt}×\frac{d\theta}{d\beta}×\frac{1}{\cosh^2\theta}$ 　　（式5）

となります。

$\theta$ は先ほどの置き換えから、

　 $\displaystyle \theta=\sinh^{-1}\beta$

ですので、

　 $\displaystyle \frac{d\theta}{d\beta}=\frac{d}{d\beta}\sinh^{-1}\beta$

です。

これを使うと、式5は、

　 $\displaystyle \alpha_x(t) = \sqrt{1-v^2}×\frac{d\beta}{dt}×\frac{d}{d\beta}\sinh^{-1}\beta×\frac{1}{\cosh^2\theta}$ 　（式６）

となります。

逆双曲線関数の微分の公式から、

　 $\displaystyle \frac{d}{d\beta}\sinh^{-1}\beta=\frac{1}{\sqrt{1+\beta^2}}$

ですので、これを使うと式６は、

　 $\displaystyle \alpha_x(t) = \sqrt{1-v^2}×\frac{d\beta}{dt}×\frac{1}{\sqrt{1+\beta^2}}×\frac{1}{\cosh^2\theta}$ 　（式７）

となります。

また、

　 $\displaystyle \frac{d\beta}{dt}=\frac{d}{dt}(a×t×\sqrt{1-v^2})$

　 $\displaystyle =a×\sqrt{1-v^2}$
ですので、式７は、

　 $\displaystyle \alpha_x(t) = \sqrt{1-v^2}×a×\sqrt{1-v^2}×\frac{1}{\sqrt{1+\beta^2}}×\frac{1}{\cosh^2\theta}$

　 $\displaystyle \alpha_x(t) = a×(1-v^2)×\frac{1}{\sqrt{1+\beta^2}}×\frac{1}{\cosh^2\theta}$ 　（式８）

です。

式８で、 $\displaystyle a×t×\sqrt{1-v^2}=\beta=\sinh\theta$ の置き換えをもとに戻します。

　 $\displaystyle \alpha_x(t) = a×(1-v^2)×\frac{1}{\sqrt{1+\beta^2}}×\frac{1}{1+\sinh^2\theta}$

　 $\displaystyle \alpha_x(t) = a×(1-v^2)×\frac{1}{\sqrt{1+\beta^2}}×\frac{1}{1+\beta^2}$

　 $\displaystyle \alpha_x(t) = \frac{a×(1-v^2)}{\left(\sqrt{1+\beta^2}\right)^3}$

　 $\displaystyle \alpha_x(t) = \frac{a×(1-v^2)}{\left(\sqrt{1+(a×t)^2×(1-v^2)}\right)^3}$

となりました。

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柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

加速運動する物体を慣性系から見る：Ｙ軸編（４）