柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

加速度系を見るとき、加速度系から見るとき（２）

加速度系時空間

以前の記事で書きましたが、等加速度 $a$ で宇宙の果てに向かう深宇宙探査機を地球から見たときの速度

　 $\displaystyle v(t) = \frac{a×t}{\sqrt{1 + (a×t)^2}}$ 　（式１）

と、深宇宙探査機に乗って地球を見たときの速度
　 $u(t)=\tanh(a×t)$ 　（式２）
とが対称になっていないのは、加速度 $a$ が、深宇宙探査機自体の加速度であり、地球の加速度ではないからでした。

では、式１と式２の関係（違い）は何でしょうか。

それは、時間の流れの違いです。

地球での時刻 $t$ と、地球から見た深宇宙探査機での時刻 $t'$ との関係は、以前の記事「深宇宙探査機は耐用年数でどこまで行ける」で求めました。
　 $a×t = \sinh(a×t')$ 　（式３）

これを使って、地球から深宇宙探査機を見送ったときの速度（式１）から、深宇宙探査機に乗って地球を見たときの速度（式２）に変換してみましょう。

式１の $a×t$ に、式３を代入します。

　 $\displaystyle v(t) = \frac{a×t}{\sqrt{1 + (a×t)^2}}$

　 $\displaystyle u(t') = \frac{\sinh(a×t')}{\sqrt{1 + \sinh^2(a×t')}}$

$\cosh^2x - \sinh^2x = 1$ ですので $1+\sinh^2x = \cosh^2x$ です。これを使うと、

　 $\displaystyle u(t') = \frac{\sinh(a×t')}{\sqrt{\cosh^2(a×t')}}$

　 $\displaystyle u(t') = \frac{\sinh(a×t')}{\cosh(a×t')}$

　 $u(t') = \tanh(a×t')$
です。
式２に変換できました。

案外簡単でした。（面倒な計算は、以前の記事でやってしまいましたからね）

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