柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

合成速度が光速を超えない（３）

加速度系時空間

以前の記事で、ローレンツ変換による合成速度は、 $y$ 軸方向の速度がある場合でも光速度を超えることはないと書きました。

また、昨日の記事で、加速する深宇宙探査機からみた物体の $x$ 軸方向の速度、 $y$ 軸方向の速度は、
　 $u_x(t) = \tanh(a×t+C)$

　 $\displaystyle u_y(t) = \frac{D}{\cosh(a×t + C)}$

になると書きました。

この場合の合成速度も光速度を超えることはないのでしょうか。

$x$ 軸方向、 $y$ 軸方向に速度がある場合の速度の絶対値 $u$ は、
　 $u = \sqrt{u_x(t)^2 + u_y(t)^2}$

　 $\displaystyle = \sqrt{\tanh^2(a×t+C) + \frac{D}{\cosh^2(a×t+C)}}$

ですので、

　 $\displaystyle\tanh^2(a×t+C) + \frac{D}{\cosh^2(a×t+C)}$

が１以下なら、光速度を超えません。

ちょっと計算してみましょう。

　 $\displaystyle \tanh^2(a×t+C) + \frac{D}{\cosh^2(a×t+C)}$

　 $\displaystyle = \frac{\sinh^2(a×t+C)}{\cosh^2(a×t+C)}+ \frac{D}{\cosh^2(a×t+C)}$

　 $\displaystyle = \frac{\sinh^2(a×t+C) + D}{\cosh^2(a×t+C)}$

です。

$\displaystyle \frac{D}{\cosh(a×t + C)}$ は $y$ 軸方向の速度ですので１（光速度）以下、

　 $\displaystyle \frac{D}{\cosh(a×t + C)}\leqq 1$

　 $\displaystyle D \leqq \cosh(a×t + C)$

また $\displaystyle \cosh(a×t + C)$ は関数の閾値より最小値は１ですので、
　 $D\leqq 1$
です。

　 $\displaystyle \frac{\sinh^2(a×t+C) + D}{\cosh^2(a×t+C)}\leqq \frac{\sinh^2(a×t+C) + 1}{\cosh^2(a×t+C)}$

です。

この右辺は、

　 $\displaystyle \frac{\sinh^2(a×t+C) + 1}{\cosh^2(a×t+C)}$

　 $\displaystyle =\frac{\cosh^2(a×t+C) }{\cosh^2(a×t+C)} = 1$

ですので、

　 $\displaystyle \frac{\sinh^2(a×t+C) + D}{\cosh^2(a×t+C)}\leqq 1$

となります。

ということで、
　 $\sqrt{u_x(t)^2 + u_y(t)^2} \leqq 1$
です。

加速している系から見た合成速度も、光速度を超えることはありません。

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