柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

ブラックホールに行ってみる（３）

ブラックホール時空間重力

（「ブラックホールに行ってみる（２）」のつづきです。）

超々巨大ブラックホールではシュワルツシルト半径での重力加速度が地球上と同じ程度になるという噂を信じて、超々巨大ブラックホールに行ってみることにします。

どれぐらい大きさのブラックホールなのか、計算してみましょう。（この後、計算式がつづきます）

シュワルツシルト半径 $r_g$ は、
　 $\displaystyle r_g = \frac{2G}{c^2}M$ 　（式１）
です。

ここで、
　 $M$ は天体の質量（キログラム）
　 $c$ は光速度（メートル/秒）
　 $G$ は万有引力定数（ $約6.67×10^{−11}メートル^3キログラム^{−1}秒^{−2}$ ）

どれぐらい大きなブラックホールだと、シュワルツシルト半径での重力加速度が地球上と同じ程度になるのでしょうか。

重力加速度 $g$ が、質量 $M$ に比例し半径 $r$ の２乗に反比例するとするとします。（重力が小さいのでニュートン力学で近似できるでしょう）
　 $\displaystyle g = G\frac{M}{r^2}$ 　（式２）

式１と式２から、シュワルツシルト半径と重力加速度の関係式を導いてみます。

式１と式２とで $\displaystyle G\frac{M}{r}$ が共通項になっています。

式１を変形して、
　 $\displaystyle G\frac{M}{r_g} = \frac{c^2}{2}$

式２を変形して、
　 $\displaystyle G\frac{M}{r} = gr$

この二つが等しいとして、
　 $\displaystyle \frac{c^2}{2} = gr$

半径 $r$ に関する式に直して、
　 $\displaystyle r = \frac{c^2}{2g}$
です。

具体的な数値として、
　光速度の値 $c = 299,792,458 = 約3×10^8メートル/秒$ 、
　地上の重力加速度の値 $g = 9.80665 = 10メートル/秒^2$
を代入してみます。

　 $\displaystyle r = \frac{(3×10^8)^2}{2×10}$

　 $\displaystyle = \frac{9×10^{16}}{2×10} = 4.5×10^{15}$

$4.5×10^{15}メートル$ って、どれくらいの長さ？大きすぎてわかりません。

地球と太陽の間の平均距離に由来する天文単位が
　 $149,597,870,700 = 約1.5×10^{11}メートル$
ですから、その３万倍ぐらい？　うーん、よくわかりませんね。

１光年が
　 $9,460,730,472,580,800 = 約9.5×10^{15}メートル$
ですから、約０.５光年。　こちらのほうが想像しやすいです。

では、そのブラックホールの質量はどれぐらいでしょう。

式１を変形して、質量 $M$ に関する式に直して、
　 $\displaystyle M = \frac{c^2}{2G}r_g$

これに
　光速度の値 $c = 299,792,458 = 約3×10^8メートル/秒$ 、
　重力定数の値 $G = 約6.67×10^{−11}メートル^3キログラム^{−1}秒^{−2}$
　先ほど求めた半径 $r_g = 4.5×10^{15}メートル$
を代入して
　 $\displaystyle M = \frac{(3×10^8)^2}{2×6.67×10^{−11}}×4.5×10^{15}$

　 $= 3.0×10^{42}$
です。

　 $3.0×10^{42}キログラム$ って、どれくらいの重さ？大きすぎてわかりません。

太陽の質量が $1.989×10^{30}キログラム$ ですから、その１.５兆倍ぐらい？　銀河系全体の質量と同じぐらいでしょうか。

そのブラックホールの密度は、質量を体積で割って、

　 $\displaystyle \frac{3.0×10^{42}}{\frac{4}{3}\pi(4.5×10^{15})^3} = 約0.8×10^{-5}キログラム/立方メートル$

です。赤色超巨星と同じぐらいの密度かな。

（つづく）

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