擦れ違う物体の速度（２）

昨日の記事で、物体が観測者とすれ違う場合の、観測者から見た物体の速度を求めました。

物体が観測者に近づいてくる位置にいるときには、

　

物体が観測者から離れていく位置にいるときには、

　

でした。
ここで、 は観測者がいる慣性系での物体の速度、 はすれ違い点から物体までの距離、は観測者からすれ違い点までの距離です。

ただ、物体の位置を連続的に見るには、物体の位置によって式が分かれていないほうがよいです。

そこで、観測者から物体を見た角度 を使って、ひとつの式で表してみます。

観測者がいる慣性系での物体の速度 を、観測者に正面から向かう方向への成分と、それに垂直な成分に分解すると、観測者に正面から向かう方向への成分は です。

は、 が （９０度） を挟んで正負が入れ替わります。

物体が観測者に近づいてくる位置にいるときには 、すれ違うときには 、観測者から離れていく位置にいるときには となります。

観測者に正面から向かう方向への成分で、観測者から見た物体の速度 を表すと、

　

となります。

これは、以前の記事「向かってくる物体は超光速にも見える」で求めた、物体が正面から観測者に近づく場合の式で、速度 を で置き換えたものです。

さて、

　

の分子・分母を で割って、

　

ですが、 は、物体が観測者に近づいてくる位置にいるときには、

　

は、

　

　

　
ですので、

　

　

　

となり、昨日求めた式と一致します。

物体が観測者から離れていく位置にいるときも同じです。