極座標（２） - 柵（しがらみ）なき重力論

昨日の記事で、直交座標から極座標への変換は、
　 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 　（式１）
　 $\theta= \cos^{-1}(z/\sqrt{x^2+y^2+z^2})$ 　（式２）
　 $\phi = \cos^{-1}(x/\sqrt{x^2+y^2})$ 　（式３）
でした。

逆の変換は、
　 $x=r×\sin(\theta)×\cos(\phi)$ 　（式４）
　 $y=r×\sin(\theta)×\sin(\phi)$ 　（式５）
　 $z=r×\cos(\theta)$ 　（式６）
でした。

ローレンツ変換の式を極座標で書いてみたいと思います。
ローレンツ変換の式は、直交座標では、
　 $x'=x$ 、 $y'=y$ 　（式７）
　 $\displaystyle z'=\gamma (z-vt)$ 　（式８）
　 $\displaystyle t'=\gamma (t-vz)$ 　（式９）
でした。（なお系はz軸方向へ動いているとしました）
ここで、 $\displaystyle \gamma \equiv 1/\sqrt {1-v^2}$ です。

$r$ の変換は、式１から、
　 $r' = \sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}$
です。

この中の $x'^2+y'^2+z'^2$ を計算します。
式７と式８を代入して、
　 $x^2+y^2+(\gamma (z-vt))^2$

式４、５、６を代入して、
　 $(r\sin(\theta)\cos(\phi))^2+(r\sin(\theta)\sin(\phi))^2+\gamma^2 (r\cos(\theta)-vt)^2$

$r^2\sin^2(\theta)$ で括り、 $\cos^2(\phi)+\sin^2(\phi)=1$ を使います。
　 $r^2\sin^2(\theta)\cos^2(\phi)+r^2\sin^2(\theta)\sin^2(\phi)+\gamma^2 (r\cos(\theta)-vt)^2$
　 $r^2\sin^2(\theta)(\cos^2(\phi)+\sin^2(\phi))+\gamma^2 (r\cos(\theta)-vt)^2$
　 $r^2\sin^2(\theta)+\gamma^2 (r\cos(\theta)-vt)^2$