柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

極座標（１）

座標

直交座標を極座標に変換してみましょう。

空間座標だけを考えます。

点Pの直交座標 $(x,y,z)$ を極座標 $(r,\theta,\phi)$ で表します。

極座標から直交座標への変換のほうが式が簡単なので、まずそちらから行います。

原点Oから点Pまでの距離を $r$ とします。
そのベクトルとz軸との角度を $\theta$ とすると、
　 $z=r×\cos(\theta)$ 　（式１）
です。

点Pからx-y平面へ垂線をおろした点をQとすると、点Qの直交座標は $(x,y,0)$ 、原点Oから点Qまでの距離は $r×\sin\theta$ です。
そのベクトルとx軸との角度を $\phi$ とすると、
　 $x=r×\sin(\theta)×\cos(\phi)$ 、　（式２）
　 $y=r×\sin(\theta)×\sin(\phi)$
です。

次に、直交座標から極座標への変換です。

原点Oから点Pまでの距離 $r$ は、
　 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 　（式３）
です。

原点Oから点Qへのベクトルとz軸との角度 $\theta$ は、式１と式３から、
　 $\theta= \cos^{-1}(z/\sqrt{x^2+y^2+z^2})$
です。

原点Oから点Pまでの距離は、 $\sqrt{x^2+y^2}$ ですので、そのベクトルとx軸との角度 $\phi$ は、式２から、
　 $\phi = \cos^{-1}(x/\sqrt{x^2+y^2})$
です。（ただしy軸の座標の正負によって符号が変わります）

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