柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

加速度系を見るとき、加速度系から見るとき（３）

加速度系時空間

このテーマの前回の記事で、等加速度 $a$ で宇宙の果てに向かう深宇宙探査機を地球から見たときの速度

　 $\displaystyle v(t) = \frac{a×t}{\sqrt{1 + (a×t)^2}}$ 　（式１）

と、その深宇宙探査機に乗って地球を見たときの速度
　 $u(t')=\tanh(a×t')$ 　（式２）

を表す式の違いは、地球上と深宇宙探査機上とでの時間の流れの違いだということを書きました。

その場合、時間の流れを表す式により、式１を式２に変換することができしました。

今回は、逆に、このふたつの式があらわす速度が同じであるという前提から、時間の流れの違いを導いてみたいと思います。

さて、加速度運動をしている物体（この例では深宇宙探査機）を、慣性系（この例では地球）にいる観測者から見たとき、その物体の速度とは何でしょう。

加速度運動している物体は、次々に慣性系を乗り継いでいます。

地球にいる観測者が時刻 $t$ で見た深宇宙探査機の速度 $v(t)$ とは、その時刻 $t$ に深宇宙探査機がいた慣性系の速度です。

また、深宇宙探査機にいる観測者が時刻 $t'$ で見た地球の速度とは、その時刻 $t'$ に深宇宙探査機がいた慣性系から地球を見た速度です。

慣性系どうしの相対的な速度なので、ふたつ速度は等しいです。

式にすると、（掛け算の記号は省略します）

　 $\displaystyle \frac{at}{\sqrt{1 + (at)^2}} = \tanh(at')$

です。

この式を変形していきます。

両辺を２乗します。

　 $\displaystyle \frac{(at)^2}{1 + (at)^2} = \tanh^2(at')$

左辺の分母を両辺に掛けます。

　 $\displaystyle (at)^2= \tanh^2(at')(1 + (at)^2)$
　 $\displaystyle (at)^2= \tanh^2(at') + (at)^2\tanh^2(at')$

$(at)^2$ のかかった項を左辺に移し、まとめます。

　 $\displaystyle (at)^2-(at)^2\tanh^2(at')= \tanh^2(at')$

　 $\displaystyle (at)^2(1-\tanh^2(at'))= \tanh^2(at')$

$\tanh$ を $\cosh$ 、 $\sinh$ に分解します。

　 $\displaystyle (at)^2\left(1-\frac{\sinh^2(at')}{\cosh^2(at')}\right)= \frac{\sinh^2(at')}{\cosh^2(at')}$

　 $\displaystyle (at)^2\left(\frac{\cosh^2(at')-\sinh^2(at')}{\cosh^2(at')}\right)= \frac{\sinh^2(at')}{\cosh^2(at')}$

$(\cosh^2\theta - \sinh^2\theta = 1)$ を使います。

　 $\displaystyle (at)^2\left(\frac{1}{\cosh^2(at')}\right)= \frac{\sinh^2(at')}{\cosh^2(at')}$

　 $\displaystyle \frac{(at)^2}{\cosh^2(at')}= \frac{\sinh^2(at')}{\cosh^2(at')}$

両辺の分母が共通ですので、分子どうしが等しいです。

　 $\displaystyle (at)^2= \sinh^2(at')$

　 $\displaystyle a×t= \sinh(a×t')$

これで、時間の流れの違いを表す式になりました。

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