柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

ドップラー効果から速度を求める

時空間 光 ドップラー効果

遠い天体の速度（視線速度＝奥行き方向の速度）は、ドップラー効果で測定するそうです。

以前の記事でドップラー効果の式（速度から周波数の比）を求めました。

　\displaystyle \nu_r =\nu_s×\frac{\sqrt{1 - v^2}}{1 - v}　（式１）

v は観測者から見た光源の速度、\nu_r は観測者が受けとる（receive）振動数、\nu_s は光源が送る（send）振動数です。

 

逆に周波数の比から速度を求める式を出してみましょう。

まず、\displaystyle \frac{\sqrt{1 - v^2}}{1 - v} を変形します。

　\displaystyle \frac{\sqrt{1 - v^2}}{1 - v}

　\displaystyle = \frac{\sqrt{1 - v}×\sqrt{1 + v}}{1 - v}

　\displaystyle = \frac{\sqrt{1 + v}}{\sqrt{1 - v}}

式１に戻し、両辺を２乗します。

　\displaystyle \nu_r =\nu_s×\frac{\sqrt{1 - v^2}}{1 - v}

　\displaystyle = \nu_s×\frac{\sqrt{1 + v}}{\sqrt{1 - v}}

　\displaystyle {\nu_r} ^2={\nu_s}^2×\frac{1 + v}{1 - v}

両辺に (1 - v) を掛けます。
　{\nu_r} ^2×(1 - v)={\nu_s}^2×(1 + v)
　{\nu_r} ^2-{\nu_r} ^2×v={\nu_s}^2+{\nu_s}^2×v

v がかかる項を右辺にまとめます。
　{\nu_r} ^2-{\nu_s}^2={\nu_s}^2×v+{\nu_r} ^2×v
　{\nu_r} ^2-{\nu_s}^2=({\nu_s}^2+{\nu_r} ^2)×v

v に関する式にします。

　\displaystyle v=\frac{{\nu_r}^2- {\nu_s}^2}{{\nu_r}^2+{\nu_s}^2}

 これが求める速度です。

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