柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

〇行差

光時空間

雨が上から降っているとき、傘は上向きに差します。

少し速足で歩くと、雨は前方斜めから降ってくるようになるので、傘も斜め前に差します。

これが、雨でなく、光でも同じ現象が起きること、つまり、速く動くと光が前方斜めから来るようになることが「光行差」です。（実際に光が前方斜めから来ることを観測するには、光速度に見合う速度で動く必要があります）

雨の例のとおり「光行差」は光以外でも起きます。
この現象を何と呼べばよいのでしょう。「〇行差」ですね。

どれぐらい斜めになるのか、計算してみましょう。

降っている雨または光（またはその他の物体）に対して、止まっている観測者と動いている観測者とは、それぞれ別の慣性系にいます。

その物体の速度（速さと方向）の計算には、速度合成の式を使います。

　 $\displaystyle w_x = \frac{u_x + v_x}{1 + u_x×v_x}$ 、

　 $\displaystyle w_y = \frac{u_y×\sqrt{1 - {v_x}^2}}{1 + u_x×v_x}$ 、

　 $\displaystyle w_z = \frac{u_z×\sqrt{1 - {v_x}^2}}{1 + u_x×v_x}$

観測者の座標を適当に選んで、物体が $x-y$ 平面で動いていると考えます。 $w_z=u_z=0$ です。

止まっている観測者にとっての物体（または光）の速度 $u$ と角度 $\theta$ が

　 $u_x=u×\cos\theta$ 、 $u_y=u×\sin\theta$

の関係にあるとします。

$x$ 軸方向に速度 $v$ で動いている観測者にとっての物体の速度 $w$ と角度 $\phi$ は

　 $\displaystyle \tan \phi = \frac{w_y}{w_x}$

　 $\displaystyle = \frac{u_y×\sqrt{1 - {v}^2}}{u_x + v}$

　 $\displaystyle = \frac{u×\sin\theta×\sqrt{1 - {v}^2}}{u×\cos\theta + v}$

なので、

　 $\displaystyle \phi = \tan^{-1}\left(\frac{u×\sin\theta×\sqrt{1 - {v}^2}}{u×\cos\theta + v}\right)$

となります。

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具体的な数値で見てみましょう。

止まっている観測者にとって、遠くの天体が真横（ $\theta=90^{\circ}$ ）に見えていた（ $u = 1$ ）とします。

光速度の５０％（ $v=0.5$ ）で動いている観測者にとっては、

　 $\displaystyle \tan \phi = \frac{u×\sin\theta×\sqrt{1 - {v}^2}}{u×\cos\theta + v}$

　 $\displaystyle = \frac{1×\sin(90^{\circ})×\sqrt{1 - {0.5}^2}}{1×\cos(90^{\circ}) + 0.5}$

　 $\displaystyle = \frac{\sqrt{0.75}}{0.5} \approx 1.73$

　 $\displaystyle \phi = \tan^{-1}(1.73) = 60^{\circ}$

となり、６０度の角度で見えることになります。

同じく、光速度の９０％（ $v=0.9$ ）で動いている観測者にとっては、

　 $\displaystyle = \frac{1×\sin(90^{\circ})×\sqrt{1 - {0.9}^2}}{1×\cos(90^{\circ}) + 0.9}$

　 $\displaystyle = \frac{\sqrt{0.19}}{0.9} \approx 0.48$

　 $\displaystyle \phi = \tan^{-1}(0.48) \approx 25^{\circ}$

となり、２５度の角度で見えることになります。

ちなみに、雨（ $u=6.5$ メートル/秒）の中を速歩き（ $v = 1.8$ メートル/秒）すると（ガリレイ変換になります）、

　 $\displaystyle \tan \phi = \frac{u×\sin\theta}{u×\cos\theta + v}$

　 $\displaystyle = \frac{6.5×\sin(90^{\circ})}{6.5×\cos(90^{\circ}) + 1.8}$

　 $\displaystyle = \frac{6.5}{1.8} \approx 3.6$

　 $\displaystyle \phi = \tan^{-1}(3.6) \approx 74.5^{\circ}$

となり、７４.５度の角度で傘を構えなければなりません。