柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

おなじみの「回転する円周の縮み」（３）

角速度

「回転する円周の縮み」の３回目です。

１回目で、接線方向の速度と円周の長さの関係を求めました。 

２回目では、角速度と接線方向の速度の関係を求めました。

今回は、それらを合わせて、角速度と円周の長さの関係を考えてみたいと思います。

止まっている円盤の円周の長さ l は、円盤の半径を r として、
　l = 2\pi×r
です。

円盤の外の観測者から見て、接線方向の速度が v で動いている円周の長さ l’ は、
　l’ = 2\pi×r×\sqrt{1-v^2} （式１）
でした。

また、円周が１周するのにかかる時間 dt は
　\displaystyle dt = 2\pi×r×\frac{\sqrt{1-v^2}}{v}　（式２）
でした。（以上、「回転する円周の縮み」の１回目から）

一方、角速度 \omega と円周の接線方向の速度との関係は、
　\displaystyle v(r) = \tanh(\omega r)　（式３）
でした。（「回転する円周の縮み」の２回目から）

式１、２と式３を合わせましょう。

まず、\sqrt{1-v^2} を計算します。
　\sqrt{1-v^2(r)}=\sqrt{1-\tanh^2(\omega r)}

　\displaystyle =\sqrt{1-\frac{\sinh^2(\omega r)}{\cosh^2(\omega r)}}

　\displaystyle =\sqrt{\frac{\cosh^2(\omega r)-\sinh^2(\omega r)}{\cosh^2(\omega r)}}

　\displaystyle =\sqrt{\frac{1}{\cosh^2(\omega r)}}

　\displaystyle =\frac{1}{\cosh(\omega r)}

です。

式１に代入して、
　l’ = 2\pi×r×\sqrt{1-v^2}

　\displaystyle = 2\pi×r×\frac{1}{\cosh(\omega r)}

です。

また、式２に代入して、

　\displaystyle dt = 2\pi×r×\frac{\sqrt{1-v^2}}{v}

　\displaystyle = 2\pi×r×\sqrt{1-v^2}×\frac{1}{v}

　\displaystyle = 2\pi×r×\frac{1}{\cosh(\omega r)}×\frac{1}{\tanh(\omega r)}

　\displaystyle = 2\pi×r×\frac{1}{\cosh(\omega r)}×\frac{\cosh(\omega r)}{\sinh(\omega r)}

　\displaystyle = 2\pi×r×\frac{1}{\sinh(\omega r)}

です。

さて、円周の接線方向の速度は、
　\displaystyle v(r) = \tanh(\omega r)
でした。

角速度 \omega、半径 r が大きくなるにつれて速度も増しますが、\tanh \theta \lt 1 ですので、速度は１（光速度）を超えません。

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