柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

距離に比例する速度

天体の動き加速度系

距離が遠くなるにしたがって（比例して）速度が上がる物体の軌道を示す計算式を考えてみます。

まず、速度 $v$ が距離 $r$ に比例するということで、
　 $v = a×r + v_0$ 　（式１）
$a$ は比例定数、 $v_0$ は距離 $r = 0$ のときの速度です。
（ $v_0=0$ だと、その物体は動きません）

速度 $v$ は、単位時間当たりの距離の変化なので、

　 $\displaystyle v = \frac{dr}{dt} = a×r+v_0$

変数分離で積分します。

　 $\displaystyle \frac{dr}{dt} = a×r+v_0$

　 $\displaystyle \frac{dr}{dt} = a×(r+(v_0/a))$

　 $\displaystyle \frac{1}{r+(v_0/a)}{dr} = a{dt}$

　 $\displaystyle \int \frac{1}{r+(v_0/a)}dr = \int {a }dt$

　 $\log (r+(v_0/a) )= a×t +C$ 　（Cは積分定数）
です。

両辺の指数を取って、

　 $\displaystyle r+(v_0/a)= e^{a×t+C}=e^{a×t}×e^C$

です。

積分定数Cは、時刻 $t=0$ のとき、距離 $r = 0$ とすると、
　 $\displaystyle 0+(v_0/a)=e^{a×0}×e^C$
　 $\displaystyle (v_0/a)=e^C$
となりますので、
　 $\displaystyle r+(v_0/a)= e^{a×t}×e^C$
　 $\displaystyle r+(v_0/a)=e^{a×t}×(v_0/a)$
　 $r=e^{a×t}×(v_0/a)-(v_0/a)$ 　（式２）
です。

距離 $r$ を示す式２を $t$ で微分すると速度 $v$ になります。

　 $\displaystyle v= \frac{d}{dt}r=\frac{d}{dt}( e^{a×t}×(v_0/a)-(v_0/a))$

　 $\displaystyle v=\frac{d}{dt}(e^{a×t} ×(v_0/a))$

　 $\displaystyle v=(v_0/a)×\frac{d}{dt}e^{a×t}$

　 $\displaystyle v=(v_0/a)×a×e^{a×t}$
　 $\displaystyle v=v_0×e^{a×t}$ 　（式３）

式３が式１と同じか確認してみましょう。

式１の $r$ に式２を代入すると、
　 $v = a×r + v_0$
　 $v = a×(e^{a×t}×(v_0/a)-(v_0/a)) + v_0$
　 $v =e^{a×t}×v_0-v_0 + v_0$
　 $v = e^{a×t}×v_0$
　 $v = v_0×e^{a×t}$
となり、式１と式３は同じ式ということがわかります。

式３を $t$ で微分すると加速度になります。

　 $\displaystyle \frac{d}{dt}v=\frac{d}{dt}(v_0×e^{a×t})$

　 $\displaystyle =v_0×\frac{d}{dt}(e^{a×t})$

　 $\displaystyle =v_0×a×e^{a×t}$

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