柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

深宇宙探査機に指令が届く間隔

時空間加速度系

地球から遠ざかる深宇宙探査機に指令が届く時刻について、以前の記事で求めました。
出発から１年後に地球から出された指令は、深宇宙探査機には届きません。
ということは、地球から一定間隔で指令を出すとして、深宇宙探査機に指令が届く間隔は、だんだん長くなり、１年後には無限大になる、ということかもしれません。

深宇宙探査機に指令が届く時刻の式
　 $\displaystyle t_e = \frac{a×{t_s}^2}{2×(1 - a×t_s)} + t_s$ 　（式１）
から、その間隔を計算してみましょう。

式１で、 $t_s$ は指令を出す時刻、 $t_e$ は指令を受け取る時刻です。どちらも、地球で見た時刻です。

指令が届く間隔は、 $t_e$ を $t_s$ で微分すればよいですね。
　 $\displaystyle \frac{dt_e}{dt_s} = \frac{d}{dt_s} \left(\frac{a×{t_s}^2}{2×(1 - a×t_s)} + t_s\right)$

第１項の微分には、微分の公式 $\displaystyle \left( \left(\frac{f}{g}\right)’ = \frac{f’×g-f×g’}{g^2} \right)$ を使います。（計算中、掛け算の記号は省略します）

　 $\displaystyle \frac{d}{dt_s} \frac{a{t_s}^2}{2(1 - at_s)}$

　 $\displaystyle = \frac{(2at_s)(2(1 - at_s))-(a{t_s}^2)(-2a)}{(2(1 - at_s))^2}$

　 $\displaystyle = \frac{4(at_s)(1 - at_s)+2(a{t_s}^2)a}{4(1 - at_s)^2}$

　 $\displaystyle = \frac{4at_s- 4a^2{t_s}^2+2a^2{t_s}^2}{4(1 - at_s)^2}$

　 $\displaystyle = \frac{4at_s- 2a^2{t_s}^2}{4(1 - at_s)^2}$

通分します。

　 $\displaystyle = \frac{2at_s- a^2{t_s}^2}{2(1 - at_s)^2}$

式を簡単にするため、完全平方にできないか、変形します。

　 $\displaystyle = \frac{-(-2at_s+a^2{t_s}^2)}{2(1 - at_s)^2}$

　 $\displaystyle = \frac{1-(1-2at_s+a^2{t_s}^2)}{2(1 - at_s)^2}$

　 $\displaystyle = \frac{1-(1-at_s)^2}{2(1 - at_s)^2}$

　 $\displaystyle = \frac{1}{2(1 - at_s)^2}-\frac{1}{2}$

第２項の微分は、

　 $\displaystyle \frac{d}{dt_s} dt_s = 1$

です。
合わせて、

　 $\displaystyle \frac{dt_e}{dt_s} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2×(1 - a×t_s)^2}$

です。

書き換えると、
　 $\displaystyle dt_e = \left( \frac{1}{2}+\frac{1}{2×(1 - a×t_s)^2}\right)×dt_s$ 　（式２）
となります。

深宇宙探査機が出発後すぐ（ $t_s =0$ ）に出した指令は、そのままの間隔（ $dt_e = dt_s$ ）で届きます。

その後、指令が届く間隔はどんどん長くなり、１年後（ $t_s = 1/a$ ）には無限大になっています。（ $t_s = 1/a$ が１年であるというのは、加速度 $a$ が地上の重力加速度と同程度の場合のことです）

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