ローレンツ変換の逆変換の確認 - 柵（しがらみ）なき重力論

ローレンツ変換の式とは、ある系Aの座標 $(t, x, y, z)$ から別の系A’の座標 $(t', x’, y’, z')$ への変換式です。

　 $t’ = \gamma×(t - v×x)$ 、
　 $x’ = \gamma×(x - v×t)$ 、
　 $y’ = y$ 、 $z’ = z$
　（ここで、 $\displaystyle \gamma \equiv \frac {1}{\sqrt {1-v^2}}$ ）

これは、系Aから系A'への変換ですが、系A'から系Aへの変換も $v$ の向きが逆になるだけで、同じ形の変換式になるはずです。

確かめてみましょう。

まず、 $t’$ に関する式 $t’ = \gamma×(t - v×x)$ の両辺に $v$ を掛けます。
　 $t’×v = \gamma×(v×t - v^2×x)$

これを、 $x’$ に関する式 $x’ = \gamma×(x - v×t)$ の両辺に足します。
　 $x’ + t'×v = \gamma×(x - v×t) + \gamma×(v×t - v^2×x)$
　 $x’ + t'×v = \gamma×(x - v×t + v×t - v^2×x)$
　 $x’ + t'×v = \gamma×(x - v^2×x)$
　 $x’ + t'×v = \gamma×x×(1 - v^2)$

$\gamma$ は、 $\displaystyle \frac {1}{\sqrt {1 - v^2}}$ なので

　 $x’+ t'×v = x/\gamma$
となり、
　 $\gamma×(x’ + t'×v) = x$
　 $x = \gamma×(x’ + v×t')$
です。

次に、 $x’$ に関する式 $x’ = \gamma×(x - v×t)$ の両辺に $v$ を掛けます。
　 $x’×v = \gamma×(x×v - v^2×t)$

これを、 $t’$ に関する式 $t’ = \gamma×(t - v×x)$ の両辺に足します。
　 $t’ + x'×v = \gamma×(t - v×x) + \gamma×(v×x - v^2×t)$
　 $t’ + x'×v = \gamma×(t - v×x + v×x - v^2×t)$
　 $t’ + x'×v = \gamma×(t - v^2×t)$
　 $t’ + x'×v = \gamma×t×(1 - v^2)$