柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

加速度運動の非相対論的近似

相対性理論近似

いままで、加速度運動する物体の速度や位置、加速度運動する観測者から見た物体の速度や位置を求めました。

等加速度 $a$ で運動する物体の速度と位置は、

　 $\displaystyle v(t) = \frac{a×t}{\sqrt{1 + (a×t)^2}}$ 　（式１）

　 $\displaystyle x(t) =\frac{1}{a}×\left(\sqrt{1+ (a×t)^2}-1\right)$ 　（式２）

加速度運動する観測者から見た物体の速度と位置は、

　 $\displaystyle v(t) =\tanh(a×t)$ 　（式３）

　 $\displaystyle x(t) =\frac{1}{a}×\log(\cosh(a×t))$ 　（式４）

でした。

これらについて、非相対論的な極限でニュートン力学と一致するか確認してみます。

まず式１です。

　 $\displaystyle v(t) = \frac{a×t}{\sqrt{1 + (a×t)^2}}$

$a\ll 1$ として $a$ の２乗の項を無視（ゼロと）します。

　 $\displaystyle v(t) = \frac{a×t}{\sqrt{1 + 0}}=a×t$

となり、ニュートン力学と一致しました。

次に式２です。

　 $\displaystyle x(t) =\frac{1}{a}×\left(\sqrt{1+ (a×t)^2}-1\right)$

平方根の中にある $a$ の２乗の項を無視してしまうと、

　 $\displaystyle x(t) =\frac{1}{a}×(\sqrt{1+ 0}-1)=0$

となってしまいます。

テーラー展開で平方根を外してから、２乗の項を無視します。
$\sqrt{1+z}$ のテーラー展開は、

　 $\displaystyle \sqrt{1+z} = 1+\frac{z}{2} - \frac{z^2}{8} + \cdots$

ですので、２乗の項までを式２に適用して、

　 $\displaystyle x(t) =\frac{1}{a}×\left( (1+\frac{(a×t)^2}{2})-1\right)$

　 $\displaystyle =\frac{1}{a}×\frac{a^2×t^2}{2}$

　 $\displaystyle =\frac{1}{2}×a×t^2$

となり、ニュートン力学と一致しました。

つづいて式３です。

　 $\displaystyle v(t) =\tanh(a×t)$

$\tanh(z)$ のテーラー展開は、

　 $\displaystyle \tanh(z)=z-\frac{z^3}{3}+\cdots$

ですので、式３に適用（３乗の項以降を無視）して、

　 $\displaystyle v(t) =a×t$

となり、ニュートン力学と一致しました。

式４です。

　 $\displaystyle x(t) =\frac{1}{a}×\log(\cosh(a×t))$

$\cosh(z)$ のテーラー展開は、

　 $\displaystyle \cosh(z)=1+\frac{z^2}{2}+\cdots$

ですので、式４に２乗の項までを適用して、

　 $\displaystyle x(t) =\frac{1}{a}×\log\left(1+\frac{(a×t)^2}{2}\right)$ 　（式４’）

です。

また $\log(1+z)$ のテーラー展開は、

　 $\displaystyle \log(1+z)=z-\frac{z^2}{2}+\cdots$

ですので、この２乗の項以降を無視して式４’に適用して、

　 $\displaystyle x(t) =\frac{1}{a}×\frac{(a×t)^2}{2}$

　 $\displaystyle =\frac{1}{a}×\frac{a^2×t^2}{2}$

　 $\displaystyle =\frac{1}{2}×a×t^2$

となり、ニュートン力学と一致しました。

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