柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

光が追いつけない（２）

加速度系漸近線

昨日の記事につづき漸近線の話です。

今回は、加速運動する観測者から見た、慣性系に固定されている物体の軌跡の漸近線を求めてみたいと思います。

等加速度 $a$ で運動する観測者から見た、慣性系に固定されている物体の速度は、以前求めましたが、
　 $\displaystyle v(t) =\tanh(a×t)$
です。

これを積分すると、物体の位置 $x(t)$ になります。

　 $\displaystyle x(t)=\int \tanh(a×t) dt$

双曲線関数の公式を使い、

　 $\displaystyle x(t)= (1/a)×\log(\cosh(a×t))+C$ 　（ $C$ は積分定数）

時刻 $t=0$ のときに位置は $x(0)=0$ であるとして $C=0$ 、物体の軌跡 $x(t)$ は、

　 $\displaystyle x(t) =(1/a)×\log(\cosh(a×t))$ 　（式1）

となります。

漸近線 $x=\alpha×t+\beta$ は、

　 $\displaystyle\lim_{t \to \infty} \frac{d}{dt}x(t) =\alpha$ 　（式２）

　 $\displaystyle\lim_{t \to \infty} (x(t)-\alpha×t)=\beta$ 　（式３）

です。

まず式１について、

　 $\displaystyle \lim_{t \to \infty}\frac{dx}{dt}$

　 $\displaystyle =\lim_{t \to \infty}\tanh(a×t)=1$

ですので、
　 $\alpha=1$
です。

次に式３から、

　 $\displaystyle \beta=\lim_{t \to \infty}( (1/a)×\log(\cosh(a×t)) -t)$

　 $\displaystyle =\lim_{t \to \infty}( (1/a)×\log(\cosh(a×t)) -(1/a)×(a×t)))$

　 $\displaystyle =\lim_{t \to \infty}( (1/a)×(\log(\cosh(a×t)) -(a×t)))$

　 $\displaystyle =\lim_{t \to \infty}( (1/a)×(\log\left(\frac{e^{a×t}+e^{-a×t}}{2}\right) -\log(e^{a×t}))$

　 $\displaystyle =\lim_{t \to \infty}( (1/a)×\log\left(\frac{e^{a×t}+e^{-a×t}}{2×e^{a×t}}\right))$

　 $\displaystyle =\lim_{t \to \infty}( (1/a)×\log\left( (1/2)+(e^{-2×a×t}/2)\right))$

　 $\displaystyle =(1/a)×\log( (1/2)+(e^{-\infty}/2))$

　 $\displaystyle =(1/a)×\log((1/2)+0)$

　 $\displaystyle =(1/a)×\log(1/2)$

です。

漸近線は、
　 $\displaystyle x=t-(1/a)×\log(1/2)$ 　（式４）
となります。

$x=0$ の位置から、時刻 $\displaystyle t=(1/a)×\log(1/2)$ に発せられた光は、物体に追いつきません。

ただ、ちょっと疑問が残ります…。

というのは、式１の $x$ ですが、これは誰から見た（誰の座標で測った）位置でしょうか？

等加速度で運動する観測者から見た慣性系に固定されている物体の速度を積分して、位置を求めました。

積分、つまり、時刻 $t_1$ のときの物体が動いた距離 $dt_1$ 、時刻 $t_2$ のときの物体が動いた距離 $dt_2$ …、を加算して位置 $x(t)$ を求めていますが、いまの観測者の速度はそのとき（ $t_1$ 、 $dt_2$ …、）の観測者の速度とは異なっていますから、そのときの距離といま見た距離とは違っているのではないでしょうか？

あとで記事をあらためて考えてみましょう。

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