柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

離れていく物体の時間をグラフで考える（１）

時空間時間の遅れミンコフスキー空間世界間隔

観測者から離れていく物体での時間がどう見えるか、グラフで考えてみます。

観測者から見た物体の軌道を $x=v×t$ とします。（時刻 $t=0$ で位置 $x=0$ に物体があります）

$x$ は物体の位置、 $v$ は物体の速度、 $t$ は観測者の座標での時刻です。

物体から観測者に向かって光が２回放たれ、観測者に時刻 $t=t_1$ と $t=t_1+dt$ に着いたとします。

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２回の光の軌道は、それぞれ、 $x=-t+t_1$ 、 $x=-t+dt+t_1$ です。

物体が光を放った時刻をそれぞれ $t=t_1’$ と $t_1’+dt’$ とすると、それらは光の軌道と物体の軌道との交点から求まります。

$x=v×t$ と $x=-t+t_1$ との交点から、

　 $v×t_1’= -t_1’+t_1$

　 $v×t_1’+t_1'= t_1$

　 $t_1’×(1+v)= t_1$

　 $\displaystyle t_1’=\frac{t_1}{1+v}$ 　（式１）

です。
$x=v×t$ と $x=-t+dt-t_1$ との交点から、同じようにして、

　 $\displaystyle t_1’+dt’=\frac{t_1+dt}{1+v}$ 　（式２）

です。

物体が光を放った時間間隔 $dt'$ と観測者が光を受け取った時間間隔 $dt$ との違いが、時間の進みの違いになります。

式２から式１を辺々差し引くと

　 $\displaystyle (t_1’+dt’)-(t_1’)=\frac{t_1+dt}{1+v}-\frac{t_1}{1+v}$

　 $\displaystyle dt’=\frac{dt}{1+v}$ 　（式３）

となります。

観測者から見た物体での経過時間は、 $\displaystyle \frac{1}{1+v}$ 倍になっていることがわかります。

ただし、式３の $dt’$ は観測者の座標で測った時間ですので、特殊相対性理論（ローレンツ変換）が考慮されていません。

物体での経過時間は物体での座標で測ります。

物体が光を放った２点間の世界距離は、等速運動する物体にとっては位置は変わっていませんから、その時間間隔を $d\tau$ とすると $d\tau^2$ です。

一方、観測者から見た世界距離は、時間間隔が $dt’$ 、空間間隔が $dx=v×dt’$ ですので、 $dt’^2-(v×dt’)^2$ です。（われわれの時空間はミンコフスキー空間です）

世界間隔はどの座標から見ても同じですから、

　 $d\tau^2= dt’^2-(v×dt’)^2= dt’^2×(1-v^2)$

　 $d\tau=dt’×\sqrt{1-v^2}$ 　（式４）

です。

式４と式３を合わせて、

　 $\displaystyle d\tau=\frac{dt×\sqrt{1-v^2}}{1+v}$

となります。

観測者から見た物体での経過時間は、 $\displaystyle \frac{\sqrt{1-v^2}}{1+v}$ 倍になることがわかりました。

観測者に近づいてくる物体では、その軌道が $x=-v×t+C$ です（時刻 $t=0$ で位置 $x=C$ に物体があります）ので、離れていく場合と同じように考えて、観測者から見た物体での経過時間は、 $\displaystyle \frac{\sqrt{1-v^2}}{1-v}$ 倍になります。

以前の記事「向かってくる・遠ざかっていく物体の時間の伸び縮み」で考えたと同じ結果になりました。

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