柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

重力源が平面の場合

重力

昨日の記事で、重力源が直線の場合に重力について書きました。

今日は、重力源が平面の場合について計算してみたいと思います。
重力源が平面の場合の重力加速度は、運動による加速度と同等（というアインシュタインの等価原理）になります。

平面から距離 $h$ にある点Ｐでの重力加速度を求めます。

点Ｐから平面に下した垂線の足を点Ｏとすると、点Ｐから点Ｏまでの距離が $h$ ということです。

平面上、点Ｏから $r$ だけ離れた円周Ｑの微小幅 $dr$ にある質量は、質量の面密度を $\rho$ として、 $\rho×2\pi×r×dr$ 。

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その質量から点Ｐが受ける重力は、点Ｐと円周Ｑとの距離 $l$ の２乗に反比例するとして、

　 $\displaystyle \frac{\rho×2\pi×r×dr}{l^2}$

です。（重力定数が１になる単位系を使います）

この重力のうち、平面への垂線方向への成分は、幾何学的な関係から、

　 $\displaystyle \frac{\rho×2\pi×r×dr}{l^2}×\frac{h}{l}$

　 $\displaystyle =\frac{\rho×2\pi×r×h}{l^3}×dr$

です。

平面の平行方向への成分は、円周Ｑの一周分の質量から受ける重力で相殺されます。

また、距離 $l$ は、
　 $l = \sqrt{r^2+h^2}$
　 $= h×\sqrt{(r/h)^2+1}$
です。

以上から、微小部分の質量から受ける重力は、

　　 $\displaystyle \frac{\rho×2\pi×r×h}{l^3}×dr$

　　 $\displaystyle =\frac{\rho×2\pi×r×h}{\left(h×\sqrt{(r/h)^2+1}\right)^3}×dr$

　　 $\displaystyle =\frac{\rho×2\pi×r×h}{h^3×\left(\sqrt{(r/h)^2+1}\right)^3}×dr$

　　 $\displaystyle =\frac{\rho×2\pi×r}{h^2}×\frac{1}{\left(\sqrt{(r/h)^2+1}\right)^3}×dr$

です。

これを $r=0$ から $r=\infty$ まで積分すれば、平面全体から受ける重力が求まります。（掛け算の記号は省略します）

　 $\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\rho×2\pi×r}{h^2}\frac{1}{\left(\sqrt{(r/h)^2+1}\right)^3}dr$

定数部分を前に出します。

　 $\displaystyle \frac{2\pi\rho}{h^2}\int_{0}^{\infty}\frac{r}{\left(\sqrt{(r/h)^2+1}\right)^3}dr$

置換積分を使います。（ここからは、重力源が直線の場合とほぼ同じです）

　 $\displaystyle (r/h)=\sinh(t)$ 、 $\displaystyle r=h\sinh(t)$

と置きます。

$\sqrt{(r/h)^2+1}$ は、
　 $\sqrt{(r/h)^2+1} = \sqrt{\sinh^2(t) + 1}$
　 $= \sqrt{\cosh^2(t)}$
　 $= \cosh(t)$
となります。

また $dr$ は、

　 $\displaystyle dr = \frac{dr}{dt}dt$

　 $\displaystyle = \frac{d}{dt}h\sinh(t)dt$

　 $= h\cosh(t)dt$
となります。

定積分の範囲は $r=0$ のとき $t=0$ 、 $r\to\infty$ のとき $t\to\infty$ です。

積分は、

　 $\displaystyle \frac{2\pi\rho}{h^2}\int_{0}^{\infty}\frac{r}{\left(\sqrt{(r/h)^2+1}\right)^3}dr$

　 $\displaystyle =\frac{2\pi\rho}{h^2}\int_{0}^{\infty}\frac{h\sinh(t)}{\cosh^3(t)} h\cosh(t)dt$

　 $\displaystyle =2\pi\rho\int_{0}^{\infty}\frac{\sinh(t)}{\cosh^2(t)}dt$

　 $\displaystyle =2\pi\rho\int_{0}^{\infty}\frac{\tanh(t)}{\cosh(t)}dt$

となります。

双曲線関数の公式 $\displaystyle \frac{d}{dz}\frac{1}{\cosh(z)} = -\frac{\tanh(z)}{\cosh(z)}$ を使います。

　 $\displaystyle 2\pi\rho\int_{0}^{\infty}\frac{\tanh(t)}{\cosh(t)}dt$

　 $\displaystyle = 2\pi\rho\left[-\frac{1}{\cosh(t)}\right]_{0}^{\infty}$

$t=0$ のとき $\displaystyle-\frac{1}{\cosh(t)}=-1$ 、 $t\to\infty$ のとき $\displaystyle -\frac{1}{\cosh(t)}=0$ ですので、

　 $\displaystyle 2\pi\rho\left[-\frac{1}{\cosh(t)}\right]_{0}^{\infty}=2\pi\rho(0 -(-1))=2\pi\rho$

です。

質点が平面に広がっている場合の重力加速度は距離に関係なく一定です。

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