柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

重力源が直線の場合

重力

２か月ほど前の記事「逆２乗は重力の性質じゃない」で、３次元空間で重力源が円筒（中心の直線に質量が集まっているとみなせる）の場合、重力加速度は距離に反比例すると書きました。

その際、計算式を示していなかったので、ここで計算してみたいと思います。

直線から距離 $h$ にある点Ｐでの重力加速度を求めます。

点Ｐから直線に下した垂線の足を点Ｏとすると、点Ｐから点Ｏまでの距離が $h$ ということです。

質量の線密度を $\rho$ とします。

直線上、点Ｏから $r$ だけ離れた点Ｑの微小部分 $dr$ にある質量 $\rho×dr$ から点Ｐが受ける重力は、点Ｐと点Ｑとの距離 $l$ の２乗に反比例するとして、

　 $\displaystyle \frac{\rho×dr}{l^2}$

です。（重力定数が１になる単位系を使います）

この重力のうち、直線への垂線方向への成分は、幾何学的な関係から、

　 $\displaystyle \frac{\rho×dr}{l^2}×\frac{h}{l}$

　 $\displaystyle =\frac{\rho×h}{l^3}×dr$

です。

直線への平行方向への成分は、点Ｏから見て反対側にある微小部分の質量から受ける重力と相殺されます。

また、距離 $l$ は、
　 $l = \sqrt{r^2+h^2}$
　 $= h×\sqrt{(r/h)^2+1}$
です。

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以上から、微小部分の質量から受ける重力は、

　　 $\displaystyle \frac{\rho×h}{l^3}×dr$

　　 $\displaystyle =\frac{\rho×h}{\left(h×\sqrt{(r/h)^2+1}\right)^3}×dr$

　　 $\displaystyle =\frac{\rho×h}{h^3×\left(\sqrt{(r/h)^2+1}\right)^3}×dr$

　　 $\displaystyle =\frac{\rho}{h^2}×\frac{1}{\left(\sqrt{(r/h)^2+1}\right)^3}×dr$

です。

これを $r=-\infty$ から $r=\infty$ まで積分すれば、直線全体から受ける重力が求まりますが、点Ｏから見て左右対称ですので、 $r=0$ から $r=\infty$ まで積分して２倍しても同じです。（掛け算の記号は省略します）

　 $\displaystyle 2\int_{0}^{\infty}\frac{\rho}{h^2}\frac{1}{\left(\sqrt{(r/h)^2+1}\right)^3}dr$

定数部分を前に出します。

　 $\displaystyle \frac{2\rho}{h^2}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\left(\sqrt{(r/h)^2+1}\right)^3}dr$

置換積分を使います。

　 $\displaystyle (r/h)=\sinh(t)$ 、 $\displaystyle r=h\sinh(t)$

と置きます。

$\sqrt{(r/h)^2+1}$ は、
　 $\sqrt{(r/h)^2+1} = \sqrt{\sinh^2(t) + 1}$
　 $= \sqrt{\cosh^2(t)}$
　 $= \cosh(t)$
となります。

また $dr$ は、

　 $\displaystyle dr = \frac{dr}{dt}dt$

　 $\displaystyle = \frac{d}{dt}h\sinh(t)dt$

　 $= h\cosh(t)dt$
となります。

定積分の範囲は $r=0$ のとき $t=0$ 、 $r\to\infty$ のとき $t\to\infty$ です。

積分は、

　 $\displaystyle \frac{2\rho}{h^2}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\left(\sqrt{(r/h)^2+1}\right)^3}dr$

　 $\displaystyle =\frac{2\rho}{h^2}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\cosh^3(t)}dr$

　 $\displaystyle =\frac{2\rho}{h^2}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\cosh^3(t)} h\cosh(t)dt$

　 $\displaystyle =\frac{2\rho}{h}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\cosh^2(t)}dt$

となります。

双曲線関数の公式 $\displaystyle \frac{d}{dz}\tanh(z) = \frac{1}{\cosh^2(z)}$ を使います。

　 $\displaystyle \frac{2\rho}{h}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\cosh^2(t)}dt$

　 $\displaystyle = \frac{2\rho}{h}\left[\tanh(t)\right]_{0}^{\infty}$

$t=0$ のとき $\tanh(t)=0$ 、 $t\to\infty$ のとき $\tanh(t)=1$ ですので、

　 $\displaystyle \frac{2\rho}{h}\left[\tanh(t)\right]_{0}^{\infty}=\frac{2\rho}{h}(1 - 0)=\frac{2\rho}{h}$

です。

直線に質量が集まっている場合の重力加速度は距離に反比例します。

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