柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

物体の中心は特異点？

重力

物体を遠方から見ると、その質量は中心の一点（質点）にあると見なすことができます。

重力加速度が質点からの距離の２乗に反比例するとすると、質点との距離ゼロでは重力加速度が無限大にり、質点は特異点となってしまいます。

有限の大きさがある物体でも、その中心は特異点でしょうか？

半径 $R$ の球体の形状をした物体の質量が $M$ であったとします。

物体の体積は $\displaystyle \frac{4}{3}\pi×R^3$ です。

物体の密度を $\rho$ とすると、
　 $\displaystyle M=\rho ×\frac{4}{3}\pi×R^3$
です。

この物体から距離 $r \geqq R$ だけ離れた位置での重力加速度 $g(r)$ は、
　 $\displaystyle g(r) = G×M×r^{-2}$
です。

$G$ は（ニュートンの）重力定数ですが、以降、 $G=1$ となる単位系を使います。
　 $\displaystyle g(r) = M×r^{-2}$

この物体が、ガス状の天体であるとして、半径より内側の距離 $r \lt R$ に入って行けるとします。

この位置の重力加速度 $g(r)$ には、 $r$ より内側にある質量だけが効いてきます。

$r$ より内側にある質量 $m(r)$ は、

　 $\displaystyle m(r) = \rho ×\frac{4}{3}\pi×r^3$

ですので、
　 $\displaystyle g(r) = m(r)×r^{-2}$

　 $\displaystyle = \rho ×\frac{4}{3}\pi×r^3×r^{-2}$

　 $\displaystyle = \rho ×\frac{4}{3}\pi×r$

です。

したがって、
　 $\displaystyle \lim_{r \to 0}g(r) = \rho ×\frac{4}{3}\pi×0 = 0$
となります。

質点と距離ゼロの位置では重力加速度もゼロとなり、質点は特異点とはなりませんでした。

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