柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

双曲線関数の野望：sinh、cosh編

双曲線関数

特殊相対性理論にかかわる計算をしていると、双曲線関数が頻繁に登場します。

昨日の $\tanh$ につづき、 $\sinh$ 、 $\cosh$ の使われ方を見てみましょう。

（１） $\sqrt{1+v^2}$ の $\sqrt{}$ をはずす

$\sqrt{1+v^2}$ が出てきたら、 $v=\sinh(\alpha)$ と置きます。

$\cosh^2(\alpha) - \sinh^2(\alpha) = 1$ ですから、 $1+\sinh^2(\alpha) =\cosh^2(\alpha)$ です。

　 $\sqrt{1+v^2}$
　 $= \sqrt{1+\sinh^2(\alpha)}$
　 $= \sqrt{\cosh^2(\alpha)} = \cosh(\alpha)$

ということで、 $\sqrt{}$ がはずれました。

（２） $\sqrt{1+v^2}+v$ の逆数は $\sqrt{1+v^2}-v$

$\sqrt{1+v^2}+v$ を $\displaystyle \frac{\sqrt{1+v^2}+v}{1}$ と考えて、分子・分母に $\sqrt{1+v^2}-v$ を掛けます。

　 $\displaystyle \frac{\sqrt{1+v^2}+v}{1}$

　 $\displaystyle =\frac{(\sqrt{1+v^2}+v)×(\sqrt{1+v^2}-v)}{\sqrt{1+v^2}-v}$

　 $\displaystyle =\frac{(\sqrt{1+v^2})^2-v^2}{\sqrt{1+v^2}-v}$

　 $\displaystyle =\frac{(1+v^2)-v^2}{\sqrt{1+v^2}-v}$

　 $\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{1+v^2}-v}$

となりますので、 $\sqrt{1+v^2}+v$ の逆数は $\sqrt{1+v^2}-v$ です。

なぜこうなるかというと、 $v=\sinh(\alpha)$ と置くと、

　 $\sqrt{1+v^2}+v = \cosh(\alpha) + \sinh(\alpha)$

です。

$\sinh$ 、 $\cosh$ の指数関数による定義は、

　 $\displaystyle \sinh(\alpha)=\frac{e^{\alpha} - e^{-\alpha}}{2}$

　 $\displaystyle \cosh(\alpha)=\frac{e^{\alpha} + e^{-\alpha}}{2}$

ですので、 $\displaystyle \cosh(\alpha) + \sinh(\alpha)$ は、
　 $\cosh(\alpha) + \sinh(\alpha)$

　 $\displaystyle = \frac{e^{\alpha} + e^{-\alpha}}{2}+\frac{e^{\alpha} - e^{-\alpha}}{2}$

　 $\displaystyle = \frac{e^{\alpha} + e^{-\alpha}+e^{\alpha} - e^{-\alpha}}{2}$

　 $\displaystyle = \frac{2×e^{\alpha}}{2}$

　 $\displaystyle = e^{\alpha}$
となります。

一方、 $\cosh(\alpha) - \sinh(\alpha)$ は、同じようにして、

　 $\cosh(\alpha) - \sinh(\alpha)$

　 $\displaystyle = \frac{e^{\alpha} + e^{-\alpha}}{2}-\frac{e^{\alpha} - e^{-\alpha}}{2}$

　 $\displaystyle = e^{-\alpha}$
となります。

つまり、 $\displaystyle \cosh(\alpha) + \sinh(\alpha)$ の逆数は、 $\cosh(\alpha) - \sinh(\alpha)$ です。

もとの $\sqrt{1+v^2}+v$ の逆数も $\sqrt{1+v^2}-v$ です。

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