柵(しがらみ)なき重力論

自由に重力論を展開します。

双曲線関数の野望:tanh編

特殊相対性理論にかかわる計算をしていると、双曲線関数が頻繁に登場します。

まあ、われわれの住んでいる時空間がミンコフスキー空間ですので、当然のことかもしれません。

\tanh の使われ方を見てみましょう。

 

(1)速度の合成

速度の合成の式は、

 \displaystyle w = \frac{u + v}{1 + u×v}

ですが、
 u = \tanh(\alpha)v = \tanh(\beta)
とすると、
 \tanh(\alpha+\beta)

 \displaystyle = \frac{\tanh(\alpha) + \tanh(\beta)}{1 + \tanh(\alpha) × \tanh(\beta)} 

 \displaystyle = \frac{u+ v}{1 + u × v} 

です。

 

(2)ドップラー効果

光源が向かってくるときのドップラー効果(振動数の比)は、

  \displaystyle \frac{\sqrt{1 - v^2}}{1 -v}

です。これを変形すると、

  \displaystyle \frac{\sqrt{1 - v^2}}{1 -v}

  \displaystyle =\frac{\sqrt{1 - v}×\sqrt{1 + v}}{1 -v}

  \displaystyle =\frac{\sqrt{1 + v}}{\sqrt{1 -v}}

  \displaystyle =\sqrt{\frac{1 + v}{1 -v}}

となります。

 v = \tanh(\alpha)
とすると、
 \alpha = \tanh^{-1}(v)
ですが、

 \displaystyle  \tanh^{-1}(v) = \frac{1}{2}×\log\left(\frac{1 + v}{1 -v}\right)

です。

 

(3)等加速度の物体の速度

等加速度 a で加速する物体を静止系から見た速度は、

 \displaystyle v(t) = \frac{a×t}{\sqrt{1 + (a×t)^2}}

です。

a×t = \sinh(\alpha) と置き換えると、

 \displaystyle \frac{a×t}{\sqrt{1 + (a×t)^2}}

 \displaystyle = \frac{\sinh(\alpha)}{\sqrt{1 + \sinh^2(\alpha)}}

ですが、\cosh^2(\alpha) - \sinh^2(\alpha) = 1 なので、1+\sinh(\alpha) =\cosh^2(\alpha)

これを使って、

 \displaystyle \frac{\sinh(\alpha)}{\sqrt{1 + \sinh^2(\alpha)}}

 \displaystyle = \frac{\sinh(\alpha)}{\sqrt{\cosh^2(\alpha)}}

 \displaystyle = \frac{\sinh(\alpha)}{\cosh(\alpha)}

 \displaystyle = \tanh(\alpha)

となります。

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