おなじみの「時間の伸び」 - 柵（しがらみ）なき重力論

特殊相対性理論による時間の伸びについて書きます。

時間の伸びとは、例えば、ある系（慣性系）での1秒が、動いている系からは1.2秒に伸びて見えるということです。

時間の伸びの説明は、特殊相対性理論の教科書・解説書では、「ローレン変換すると～」と書かれているか、「ロケットの中で光が放たれ鏡で反射されて戻ってくると～」と書かれていることが多いですが、ここでは、われわれのいる時空間は「ミンコフスキー空間」であり、「時間的距離の２乗－空間的距離の２乗＝世界距離の２乗」はどの系から見ても不変である、ということから導いてみたいと思います。

二つの系（慣性系）AとA'を考えます。系A'から見て系Aは速度 $v$ で動いているとします。

いま、系Aの同じ位置で、時刻を違えて二つの事象１、２が起きたとします。
事象１の座標を $(t_1, x)$ 、事象２の座標を $(t_2, x)$ とします。
事象１、２の時間的距離は $t_1 - t_2$ です。これを $dt$ とします。
事象１、２の空間的距離は、同じ位置での事象ですので0です。
事象１、２の世界距離は、
　 $\sqrt{時間的距離^2－空間的距離^2}$ = $\sqrt{dt^2 - 0^2}$ = $dt$
です。

次に、その事象１、２を、系A'から見ます。

系A'で見た事象１の座標を $(t'_1, x'_1)$ 、事象２の座標を $(t'_2, x'_2)$ とします。
事象１、２の時間的距離は $t'_2 - t'_1$ です。これを $dt'$ とします。
系Aで $dt$ であった時間的距離が、系A’では $dt’$ に見えるということです。

事象１、２の空間的距離は $x'_1 - x'_2$ ですが、系Aでは同じ位置で起きていた事象１、２を系A'で見ると、事象１が起きてから事象２が起きるまで時間 $dt'$ が過ぎていますから、事象２の位置は事象１の位置より $v×dt'$ だけ動いています。
なので、事象１、２の空間的距離は、 $0 + v×dt'$ = $v×dt'$ です。
系A'での事象１、２の世界距離は、
　 $\sqrt{時間的距離^2－空間的距離^2}$
　 $= \sqrt{dt'^2 - (v×dt')^2}$
　 $= \sqrt{dt'^2×(1 - v^2)}$
　 $= dt'×\sqrt{1 - v^2}$
です。